监管驾校的部门主要是 交通运输部和公安部，其中主管部门是交通运输部。具体来说，交通运输部下属的运管处或运管所驾培科对驾校进行相应管理，主要负责监管驾校的经营培训、场地训练以及教练员的监督。公安部下属的交警部门即车管所，主要负责驾校培训质量的核查、考试监考工作以及各项驾驶业务。
此外，根据《中华人民共和国道路交通安全法》的规定，机动车驾驶培训实行社会化，由交通主管部门对驾驶培训学校、驾驶培训班实行资格管理。因此，驾校的管理和监督主要由交通运输主管部门负责，包括驾校的审批、注册、考核、教学质量监督等方面。同时，公安机关也会对驾校进行监管，主要是对驾校的安全管理和交通违法行为进行监督和处罚。
综上所述，驾校的监管工作是由交通运输部和公安部共同承担的，其中交通运输部是主要管理部门，负责驾校的运营规范、教练员的培训和监管，以及学员的训练场地管理。交警部门则负责培训质量监督和学员监考工作。如果遇到驾校的不当甚至违法行为，可以向运管投诉，主管部门可以对驾校进行处罚。