当犯罪嫌疑人死不承认其罪行时，处理方式主要依据《刑事诉讼法》和《刑法》等相关法律规定，具体如下：
证据充分，即使没有口供也可定罪
如果刑事侦查机构通过深入调查和取证，获得了充分且有力的证据，足以证明犯罪嫌疑人确实实施了犯罪行为，那么即便犯罪嫌疑人拒绝承认，也可以依据这些证据追究其刑事责任。
证据不足，遵循“疑罪从无”原则
如果在侦查过程中发现证据不足，无法精确证明犯罪嫌疑人构成犯罪，那么必须遵循“疑罪从无”的国际通行原则，决定不追究该名犯罪嫌疑人的刑事责任。
公诉案件中由检察院承担举证责任
根据《刑事诉讼法》第四十九条的规定，在公诉案件中，被告人有罪的举证责任由人民检察院承担。这意味着，如果检察院能够通过确实、充分的证据来证明被告人有罪，即使被告人拒绝认罪，也可以认定其有罪并处以刑罚。
法院的最终判决
法院在审理案件时，会综合考虑所有证据，如果其他证据无法证明犯罪嫌疑人有罪，法院应当做出无罪判决。如果证据确凿，法院可以判定犯罪嫌疑人有罪，并依法判处刑罚。
建议
收集和固定证据：无论犯罪嫌疑人是否认罪，侦查机关都应全面、细致地收集和固定证据，确保证据链完整、证据确凿。
遵循法律程序：在处理此类案件时，必须严格遵循法律程序，确保每一步操作都符合法律规定，以保障司法公正。
重视口供与其他证据的关联性：在缺乏口供的情况下，更应注重其他证据的收集和运用，通过证据的相互印证来证明犯罪嫌疑人的犯罪事实。
通过以上方式，可以确保在法律框架内公正、公平地处理犯罪嫌疑人死不承认的情况。