美容机构的管理主要归属于 卫生健康行政部门。具体来说：
国家层面：
国家卫生行政主管部门负责全国范围内各类医疗保健机构（含美容业）的监督管理。
地方层面：
县级以上地方人民政府卫生行政部门负责本行政区域内医疗美容服务的监督管理工作。
此外，虽然工商局也对美容机构有一定的管理职责，特别是涉及到工商营业执照的办理和违法行为的查处，但主要的管理和监管职责还是在卫生健康行政部门。
综上所述，美容机构的管理和监管主要是由卫生健康行政部门负责，无论是国家层面还是地方层面。如果需要进一步的法律咨询或投诉，可以向当地的卫生健康行政部门或相关机构进行。